책상 위에 막대 하나가 놓여 있습니다. 폭이 1 cm인 칸을 나란히 놓으니 여섯 칸이 들어갑니다. 이번에는 폭이 2 cm인 칸으로 바꾸어 보니 세 칸이 들어갑니다.
막대는 그대로인데 처음에는 6, 다음에는 3이라고 썼습니다. 어느 쪽이 맞을까요? 둘 다 맞습니다. 같은 막대의 길이를 서로 다른 기준으로 나타냈기 때문입니다.
앞선 010편에서는 세계를 대상, 속성, 관계, 구조와 상태로 나누어 보는 첫 모델을 만들었습니다. 이번에는 그 모델의 ‘값’이 실제 세계와 어떻게 연결되는지 살펴봅니다. 핵심 질문은 이것입니다. 같은 물체를 재었는데 단위를 바꾸면 숫자가 달라집니다. 그렇다면 무엇이 그대로이고, 무엇이 달라질까요?
같은 막대가 6 cm이면서 3개의 2 cm일 수 있을까요?
막대의 길이를 1 cm씩 나누어 비교하면 6칸입니다. 2 cm씩 나누어 비교하면 3칸입니다.
| 비교 기준 | 기준이 들어가는 횟수 | 길이의 표현 |
|---|---|---|
| 1 cm | 6번 | 6 cm |
| 2 cm | 3번 | 6 cm |
막대는 늘어나거나 줄어들지 않았습니다. 바뀐 것은 기준 칸의 크기와 그 기준이 들어가는 횟수입니다. 그래서 숫자만 보면 6과 3이 서로 다른 길이처럼 보이지만, 기준까지 함께 보면 둘 다 같은 길이를 나타냅니다.
숫자만으로는 무엇을 알 수 없을까요?
누군가 “막대의 길이는 6입니다”라고 말하면 자연스럽게 되묻게 됩니다. “6 무엇인가요?” 6 cm인지, 6 m인지, 손가락 여섯 마디인지 알 수 없기 때문입니다.
숫자가 틀린 것이 아닙니다. 무엇을 기준으로 비교했는지가 빠진 것입니다. 측정은 대상 속에 숨어 있는 숫자를 꺼내는 일이 아닙니다. 먼저 대상에서 어떤 속성을 볼지 정하고, 같은 종류의 기준을 정한 다음, 그 기준이 몇 번 들어가는지 비교하는 일입니다.
막대에는 길이, 질량, 온도처럼 여러 속성이 있습니다. 지금 길이를 알고 싶다면 길이와 같은 종류의 기준이 필요합니다. 길이를 킬로그램으로 재거나 시간을 미터로 재지 않는 이유도 여기 있습니다. 비교하려는 속성과 기준의 종류가 맞아야 합니다.
측정값은 수와 단위가 함께 만듭니다
이 관계를 한 줄로 나타내면 다음과 같습니다.
Q = n × U
- Q: 나타내려는 양, 예를 들어 막대의 길이
- U: 비교 기준으로 삼은 단위
- n: 그 단위가 몇 번 들어가는지를 나타내는 수
1 cm 기준이 여섯 번 들어가면 Q = 6 × 1 cm = 6 cm입니다. 2 cm 기준이 세 번 들어가도 Q = 3 × 2 cm = 6 cm입니다. 왼쪽의 양이 같은 까닭은 같은 막대의 같은 길이를 나타내기 때문입니다.
단위를 두 배 크게 잡으면 필요한 횟수는 절반으로 줄어듭니다. 더 작은 단위를 쓰면 횟수는 늘어납니다. 단위 변환의 핵심은 변환표를 외우는 데 있기 전에, 기준 크기와 수값이 서로 반대 방향으로 바뀌고 양은 그대로일 수 있다는 관계를 이해하는 데 있습니다.
해바라기는 단위가 바뀌어도 작아지지 않습니다
해바라기 높이를 150 cm라고 기록했다고 해 보겠습니다. 같은 높이를 미터로 쓰면 1.5 m입니다. 숫자는 150에서 1.5로 달라졌지만 식물이 갑자기 작아진 것은 아닙니다. 바뀐 것은 표현입니다.
반대로 오늘 150 cm, 내일 152 cm라면 실제로 자랐을 가능성이 있습니다. 관찰에서 중요한 것은 자연의 변화와 기록 방식의 변화를 구별하는 것입니다. 측정값을 비교하려면 무엇을 측정했는지, 어떤 단위를 썼는지 함께 남겨야 합니다.
단위를 적었다고 측정이 완벽해지는 것도 아닙니다. 자의 눈금이 1 cm 간격이라면 끝점이 눈금 사이에 있을 때 읽기에 불확실성이 남습니다. 단위는 비교 기준을 알려 주고, 불확실성은 측정 결과가 얼마나 흔들릴 수 있는지 알려 줍니다.
설계도에 ‘50’만 적으면 부품을 만들 수 없습니다
부품 폭이 50이라고만 적힌 설계도를 받으면 작업자는 무엇을 만들어야 할지 알기 어렵습니다. 50 mm와 50 cm는 크기가 크게 다릅니다. 그래서 수와 단위를 함께 쓰고, 필요한 경우 허용 오차도 표시합니다.
센서와 소프트웨어, 제어기가 이어지는 기술 시스템도 마찬가지입니다. 온도 센서가 ‘25’를 보냈는데 섭씨인지 다른 눈금인지 모르면 제어기는 올바르게 판단하기 어렵습니다. 값과 단위가 함께 보존되어야 숫자가 세계에 대한 정보가 됩니다.
제어기는 현재 값을 측정하고 목표와 비교해 장치를 움직인 뒤 다시 측정합니다. 이 순환에서 단위가 빠지면 뒤의 계산이 정확해도 전체 판단이 어긋날 수 있습니다. 정확한 계산에 앞서 필요한 질문은 “이 숫자는 어떤 양을 어떤 기준으로 나타내는가?”입니다.
모든 수에 단위가 필요한 것은 아닙니다
여기서 “모든 숫자에는 단위가 붙어야 한다”고 넓혀 말하면 정확하지 않습니다. 사과 세 개의 3은 개수를 나타냅니다. 경주에서 세 번째의 3은 순서를 나타냅니다. 두 경우는 길이나 질량을 재는 측정값과 다릅니다.
또한 섭씨 20도가 섭씨 10도의 두 배로 뜨겁다고 말할 수는 없습니다. 숫자와 단위가 있다고 모든 덧셈이나 비율 계산이 의미를 갖는 것은 아닙니다. 어떤 계산이 가능한지는 그 값이 개수인지, 순서인지, 어떤 척도의 측정값인지에 따라 달라집니다.
이번 편의 결론은 이렇습니다. 측정한 양을 다른 사람과 공유하려면 수값과 기준을 함께 제시해야 합니다. 그러나 모든 수가 측정값은 아니며, 수가 맡은 역할에 따라 가능한 계산도 달라집니다.
숫자와 세계 사이에는 비교의 기준이 있습니다
같은 막대는 6 cm이면서 3개의 2 cm 조각일 수 있습니다. 숫자는 단위와 함께 있을 때 무엇을 나타내는지 분명해집니다. 단위는 숫자 뒤에 덧붙이는 꼬리표가 아니라 세계와 숫자를 연결하는 비교의 기준입니다.
앞 편에서 만든 세계 모델의 상태 변수도 이름만으로는 실제 값을 설명하지 못합니다. 해바라기의 높이를 기록하려면 어떤 속성을 측정하는지, 어떤 기준을 사용하는지 정해야 합니다. 대상의 속성, 비교 기준, 수값이 연결될 때 서로 다른 시간과 장소의 측정 결과를 비교할 수 있습니다.
다음 편에서는 같은 ‘3’이 ‘사과 세 개’의 3과 ‘세 번째’의 3으로 어떻게 달라지는지 살펴봅니다. 수는 ‘얼마나 많은가’와 ‘몇 번째인가’를 어떻게 구분할까요?
참고 자료
- 국제 측정 용어집(VIM), 2012 — 양, 단위, 양의 값과 수값의 정의
- 국제단위계(SI) 브로슈어, 제9판 — 양의 값을 수와 단위로 나타내는 방식
- BIPM 국제단위계 공식 안내
이 글은 측정과 단위의 개념을 설명하는 교양 글입니다.