부제: 뉴턴의 F = ma에서 라그랑지안 L과 해밀토니안 H로 넘어가는 길
핵심 요약
- 라그랑지안 L(q, ẋ) = T − U는 “운동에너지 − 퍼텐셜 에너지”로 계의 운동을 한 번에 표현하는 함수다.
- 일반화 좌표 q는 단순한 x, y, z만이 아니라, 각도·길이·관절각 등 “계의 자유도를 나타내는 모든 좌표”를 포함한다.
- 일반화 운동량 p = ∂L/∂ẋ는 q에 대응하는 운동량으로, 직선 운동에서는 mv, 각운동에서는 각운동량으로 자연스럽게 바뀐다.
- 해밀토니안 H(q, p)는 보통 “총에너지(운동에너지 + 퍼텐셜)”와 같으며, H를 사용하면 고전역학과 양자역학을 같은 형식으로 다룰 수 있다.
1. 왜 굳이 라그랑지안과 해밀토니안이 필요한가?
우리가 처음 배우는 고전역학은 뉴턴의 F = ma다. 직관적이고 강력하지만, 계가 복잡해질수록 점점 쓰기 어려워진다.
- 좌표계가 복잡해지면 가속도 계산이 귀찮아진다.
- 구속조건(막대에 묶인 질점, 진자, 연결된 질량들)이 많아질수록 식이 더러워진다.
- 장(field), 상대론, 양자역학으로 갈수록 F = ma 형식은 맞지 않는다.
라그랑지안 L과 해밀토니안 H은 이런 문제를 해결하기 위해 등장한 더 일반적인 언어다.
- 좌표계를 마음대로 바꿔도 구조가 깨지지 않는다.
- 복잡한 계에서도 “에너지”를 기준으로 깔끔한 방정식을 얻을 수 있다.
- 양자역학, 장론, 상대론까지 같은 형식으로 연결된다.
한 줄로 말하면: F = ma는 “힘 중심 언어”, L과 H는 “에너지·대칭 중심 언어”다.
2. q: 일반화 좌표, “계의 자유도”를 표현하는 언어
2-1. q는 왜 좌표가 아니라 “일반화 좌표”라고 부를까?
라그랑지안에서 q는 단순히 x, y, z 같은 공간 좌표만 의미하지 않는다. q는 그 계를 표현하는 데 필요한 모든 자유도를 뜻한다.
예를 들어,
- 단진자 → q = θ (각도)
- 질량–스프링 → q = x (변위)
- 이중 진자 → q₁ = θ₁, q₂ = θ₂
- 로봇 팔 → 각 관절각 q₁, q₂, q₃, …
이런 q들을 묶어서 일반화 좌표(generalized coordinates)라고 부른다. 좌표의 모양이 어찌 되었든, “자유도 수만 맞으면” q로 다 다룰 수 있다.
2-2. q의 단위
- q = x → 단위: m (미터)
- q = θ → 단위: rad (라디안, 무차원 취급)
- q = r → 단위: m
즉, q는 “좌표의 종류”에 따라 단위가 달라진다. 중요한 것은 q가 무엇이든 동일한 수학 구조(Euler–Lagrange 식)를 적용할 수 있다는 점이다.
3. L = T − U: 라그랑지안의 정의와 의미
3-1. 라그랑지안의 정의
라그랑지안 L은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.
L(q, ẋ, t) = T(q, ẋ, t) − U(q, t)
- T: 운동에너지(kinetic energy)
- U: 퍼텐셜 에너지(potential energy)
대부분의 고전역학 문제에서 L은 “운동에너지 − 퍼텐셜 에너지”로 쓰인다. 이 L을 이용해 작용(action) S = ∫L dt를 정의하고, “S가 최소(또는 정stationary)가 되는 경로”를 찾으면 계의 실제 운동이 나온다(최소 작용의 원리).
3-2. 왜 굳이 T − U인가?
직관적으로는 이렇게 이해할 수 있다.
- T는 “움직이려는 성질”, U는 “붙잡아두려는 성질”
- T − U는 두 경향의 균형 구조를 한 번에 표현
- 이 조합이 변분을 했을 때 뉴턴의 F = ma와 같은 운동 방정식을 되살려준다.
수학적으로는 Euler–Lagrange 방정식
d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂q = 0
을 통해 L에서 바로 운동방정식을 얻을 수 있다. 이 구조가 성립하도록 하는 가장 자연스러운 선택이 바로 L = T − U다.
4. p = ∂L/∂ẋ: 왜 이것이 운동량이 되는가?
4-1. 정의
라그랑지안에서 일반화 운동량 p는 이렇게 정의한다.
p = ∂L/∂ẋ
L = T − U 이고, 대부분의 경우 U는 속도 ẋ에 의존하지 않으므로
p = ∂T/∂ẋ
4-2. 단순한 경우: 직선 운동
T = ½ m ẋ² 인 경우를 보자.
∂T/∂ẋ = ∂(½ m ẋ²)/∂ẋ = m ẋ = mv
즉, 우리가 알고 있는 운동량 p = mv가 자동으로 나온다.
4-3. 진자(각도 좌표)에서는?
길이 l, 질량 m인 단진자의 운동에너지는
T = ½ m l² ẋθ²
여기서 q = θ, ẋ = ẋθ 이므로,
pθ = ∂T/∂ẋθ = m l² ẋθ
이것은 바로 각운동량에 해당한다.
즉, 좌표 q가 길이(x)냐, 각도(θ)냐에 따라 p는 자연스럽게
- 직선 운동량 (mv)
- 각운동량 (I ω)
으로 변한다. 그래서 이 p를 “일반화 운동량”이라고 부른다.
4-4. 왜 꼭 p = ∂L/∂ẋ이어야 할까?
- 그래야 Euler–Lagrange 식이 F = dp/dt 형태의 뉴턴 제2법칙과 일치한다.
- 그래야 해밀토니안 H를 정의했을 때 H가 에너지와 일관성 있게 대응된다.
- 그래야 뇌터 정리에서 “대칭성 → 보존량”이 올바르게 작동한다.
5. 해밀토니안 H(q, p): 에너지로 쓰는 운동 방정식
5-1. 해밀토니안의 정의
해밀토니안 H는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.
H(q, p, t) = p ẋ − L(q, ẋ, t)
여기서 ẋ는 p = ∂L/∂ẋ 를 통해 p의 함수로 바꿔 넣을 수 있다. 대부분의 고전역학 문제에서 H는 총에너지(운동에너지 + 퍼텐셜)와 일치한다.
5-2. 해밀톤 방정식
해밀토니안 형식에서는 운동 방정식이 이렇게 두 줄로 정리된다.
ẋ = ∂H/∂p
ṗ = −∂H/∂q
즉, q와 p의 시간 변화가 H의 기울기로 표현되는 구조다. 이 형식은 양자역학, 장론으로 넘어갈 때 거의 그대로 유지된다.
5-3. H가 시간에 의존하지 않으면?
H가 t에 명시적으로 의존하지 않는다면, H는 시간에 대해 보존된다. 즉, H = 에너지인 경우, 에너지 보존이 자연스럽게 나오는 것이다.
6. 뉴턴역학 vs 라그랑지안 vs 해밀토니안 비교
| 형식 | 주요 변수 | 기본 방정식 | 장점 |
|---|---|---|---|
| 뉴턴역학 | 위치 x, 힘 F | F = m a | 직관적, 단순한 계에 좋음 |
| 라그랑지안 | q, ẋ, L = T − U | d/dt(∂L/∂ẋ) − ∂L/∂q = 0 | 복잡한 좌표계, 구속조건 처리에 유리 |
| 해밀토니안 | q, p, H | ẋ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q | 에너지 중심, 양자역학·장론과 연결 용이 |
세 가지는 모두 같은 물리현상을 설명하지만, 초점과 언어가 다르다.
7. 정리: 현대 물리학의 기본 언어 q, p, L, H
- q: 일반화 좌표, 계의 자유도(위치·각도·변위 등)를 표현.
- p: q에 대응하는 일반화 운동량, p = ∂L/∂ẋ.
- L: 라그랑지안, L = T − U, 최소 작용 원리의 핵심.
- H: 해밀토니안, 보통 총에너지와 같으며, (q, p) 공간에서 운동을 기술.
뉴턴역학이 “힘과 가속도”로 세상을 설명한다면, 라그랑지안·해밀토니안 역학은 “대칭성과 에너지, 보존량(q, p, L, H)”으로 세상을 설명한다.
이 언어를 익혀두면, 고전역학 → 양자역학 → 장론까지 하나의 흐름으로 자연스럽게 이어서 공부할 수 있다.
