부제: 왜 힘은 보존량이 아니고, 에너지·운동량만 보존되는가?
핵심 요약
- 힘은 ‘양(量)’이 아니라 ‘작용(작용하는 원인)’이기 때문에 보존량이 아니다. 반대로 에너지·운동량·각운동량은 계가 가지고 있는 물리적 양이라서 보존법칙이 성립한다.
- 보존력(conservative force)은 “에너지를 보존시키는 힘”이라는 뜻이지, “힘 자체가 보존된다”는 뜻이 아니다. 중력·전기력·탄성력처럼 퍼텐셜 에너지로 표현 가능한 힘을 말한다.
- 마찰력 같은 비보존력(non-conservative force)은 한 일이 경로에 의존하고, 에너지를 열 등으로 흩어버리기 때문에 퍼텐셜 에너지로 묶을 수 없고, 역학적 에너지도 보존되지 않는다.
1. 보존량이란 무엇인가?
1-1. 보존량의 정의
물리학에서 보존량(conserved quantity)이란, 고립된 계에서 시간에 따라 전체 값이 항상 일정하게 유지되는 물리량을 말한다. 대표적인 예는 다음과 같다.
- 에너지(energy)
- 선운동량(momentum)
- 각운동량(angular momentum)
- 전하(charge)
이들은 계 내부에서 형태를 바꾸거나 물체들 사이에 이동할 수는 있지만, 총합은 변하지 않는다는 특징을 가진다.
1-2. 보존량과 대칭성의 관계(뇌터 정리의 아이디어)
현대 물리학에서는 보존법칙이 단순한 “경험적 사실”이 아니라, 대칭성(symmetry)에서 나온다는 것이 알려져 있다. (뇌터 정리의 핵심 아이디어다.)
- 시간에 대한 대칭성 → 에너지 보존
- 공간 병진(위치 이동) 대칭성 → 운동량 보존
- 회전 대칭성 → 각운동량 보존
이처럼 보존량은 “아무 이유 없이 우연히 보존되는 양”이 아니라, 자연 법칙이 가진 대칭성의 결과로 보존되는 물리량이다.
2. 힘(Force)은 왜 보존량이 아닐까?
2-1. 힘은 ‘양’이 아니라 ‘작용’이다
보존량은 기본적으로 “계가 가지고 있는 어떤 양(量)”이다. 반면 힘(force)은 계가 ‘가지고 있는 것’이라기보다, 계의 상태(운동량)를 변화시키는 작용이다.
뉴턴 역학에서 힘의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.
F = dp/dt (힘 = 운동량의 시간에 따른 변화율)
즉, 힘은 운동량이 어떻게 변하고 있는지를 나타내는 “변화율”이다. 변화율 자체는 어떤 계에 “저장된 양”이 아니라, 상태를 바꾸는 원인이다. 이 점에서 힘은 보존량의 성격과 다르다.
2-2. 힘의 총합은 일정하지 않다
보존량이라면, 계 전체에서 그 양의 총합이 일정해야 한다. 하지만 실제 계를 보면, 힘의 총합이 일정하게 유지되는 경우는 없다.
- 물체가 서로 멀어지면 중력은 약해진다.
- 전하의 배치가 바뀌면 전기력의 크기와 방향이 바뀐다.
- 손으로 미는 힘은, 미는 사람의 의지와 시간에 따라 아무렇게나 바뀔 수 있다.
이처럼 힘은 계의 구성, 위치, 속도, 시간 등에 따라 계속 변하는 상호작용의 결과이지, 계가 “보관해 두는 양”이 아니다.
2-3. 힘에는 ‘대칭성에 대응하는 보존법칙’이 없다
에너지·운동량·각운동량은 각각 특정한 대칭성과 직접 연결되지만, “어떤 대칭성 때문에 힘이 보존된다”는 식의 보존법칙은 존재하지 않는다.
요약하면:
- 힘은 변화율(작용)이고,
- 시간이 지나며 자유롭게 변할 수 있고,
- 어떤 대칭성에 의한 보존법칙과도 1:1로 대응되지 않는다.
따라서 힘은 보존량이 아니다라고 말하는 것이 물리적으로 올바른 표현이다.
3. 에너지·운동량·각운동량은 왜 보존되는가
3-1. 에너지 보존
에너지(energy)는 계가 할 수 있는 일(work)의 능력을 나타내는 양이다. 고립된 계에서 에너지의 총합은 언제나 일정하게 유지된다.
보통 역학에서는 다음과 같은 역학적 에너지를 많이 쓴다.
- 운동에너지 K
- 퍼텐셜 에너지 U
보존력이 작용하는 한, K + U = 일정이라는 에너지 보존식이 성립한다.
3-2. 운동량 보존
운동량(momentum)은 질량과 속도의 곱으로 정의되는 양으로, 계에 외력이 작용하지 않으면 총운동량이 보존된다.
ptotal = 일정 (외력이 없는 계)
이는 공간 병진 대칭성과 연결되어 있다. “우주 어딜 가져다 놔도 물리법칙이 같다”는 성질이, 결국 운동량 보존법칙으로 나타난다.
3-3. 각운동량 보존
각운동량(angular momentum)은 회전 운동의 ‘운동량’에 해당하는 물리량이다. 외력이 없거나 토크가 0이면, 계의 총 각운동량은 보존된다.
이는 공간의 회전 대칭성, 즉 “좌표계를 회전시켜도 물리법칙이 같다”는 성질과 연결된다.
정리하면, 보존량은 대칭성에서 나오고, 힘은 그러한 대칭성과 직접 대응되지 않는다라는 점이 핵심이다.
4. 보존력과 보존량: 이름은 비슷하지만 완전히 다른 개념
4-1. 보존력(conservative force)의 정의
보존력(conservative force)은 다음 두 조건을 만족하는 힘을 말한다.
- 어떤 점 A에서 B로 갈 때, 한 일(Work)이 경로에 의존하지 않는다.
- 그 힘에 대해 퍼텐셜 에너지 U(q)를 정의할 수 있다.
수학적으로는 다음과 같이 표현한다.
F = −∇U
중력, 이상적인 탄성력(용수철), 쿨롱 전기력 등이 대표적인 보존력이다.
4-2. “보존력”이라는 이름이 주는 오해
많은 사람들이 “보존력”이라는 용어 때문에 “힘이 어떤 의미에서 보존된다”고 착각하기 쉽다. 그러나 보존력에서 “보존”되는 것은 힘이 아니라, 역학적 에너지(K + U)이다.
즉,
- 보존력 = 에너지 보존이 성립하도록 하는 종류의 힘
- 보존량 = 실제로 총합이 보존되는 물리량(에너지, 운동량 등)
따라서 “보존력”과 “보존량”은 완전히 다른 개념이다.
5. 비보존력: 마찰력·저항력은 왜 에너지를 ‘먹어버리는가’
5-1. 비보존력(non-conservative force)의 특징
비보존력은 보존력과 반대로, 다음과 같은 특징을 가진다.
- 한 일이 경로에 의존한다. (멀리 돌아가면 더 많은 에너지를 소모)
- 퍼텐셜 에너지로 표현할 수 없다.
- 역학적 에너지(K + U)가 감소하는 형태로 나타난다.
대표적인 예는 다음과 같다.
- 마찰력
- 공기 저항
- 점성력(끈적한 액체 안에서의 저항)
5-2. 에너지는 어디로 사라지는가?
비보존력이 일을 하면, 역학적 에너지(운동에너지·퍼텐셜 에너지)의 총합이 줄어드는 것처럼 보인다. 하지만 에너지가 “진짜로 사라지는 것”은 아니다.
실제로는
- 마찰: 운동에너지가 열 에너지(내부 에너지)로 바뀐다.
- 공기 저항: 운동에너지가 공기의 열, 소리, 난류 에너지 등으로 분산된다.
즉, 역학적 에너지(K + U)는 보존되지 않지만, 계를 더 크게 잡으면 전체 에너지는 여전히 보존된다. 그래서 에너지 보존법칙은 여전히 유효하다.
6. 힘은 상태가 아니라 작용이다: 개념 정리
6-1. 상태를 나타내는 양 vs 변화를 일으키는 양
물리량을 크게 두 부류로 나누어 볼 수 있다.
- 상태량(state quantity): 계가 현재 어떤 상태에 있는지를 나타내는 양 (에너지, 운동량, 각운동량 등)
- 작용량 / 변화율: 그 상태가 어떻게 변하는지를 나타내는 양 (힘, 토크, dp/dt 등)
보존량은 “상태량” 쪽에 속한다. 반면 힘은 상태를 바꾸는 “작용”이다. 따라서 보존량이 되기 위한 성격 자체가 다르다.
6-2. 뉴턴역학과 라그랑지안/해밀토니안의 관점
뉴턴역학에서는 힘을 직접 다루면서 운동을 기술한다.
F = ma = dp/dt
하지만 라그랑지안·해밀토니안 역학으로 가면, 힘 대신 에너지와 운동량(보존량 중심)으로 물리를 기술하게 된다. 이때 힘은 더 이상 “근본적인 주인공”이 아니라, 에너지 구조에서 파생되는 양이 된다.
예를 들어 보존력의 경우:
F = −∇U
즉, 힘은 퍼텐셜 에너지의 기울기(gradient)로 표현된다. 이 관점에서 보면 자연의 근본은 힘이 아니라, 에너지 구조와 대칭성에 더 가깝다.
7. 정리: 힘은 보존되지 않지만, 물리학은 더 강력해진다
7-1. 핵심 정리
- 힘은 보존량이 아니다. 힘은 계가 가진 양이 아니라, 운동량을 변화시키는 작용·변화율이기 때문이다.
- 보존력(conservative force)은 에너지를 보존시키는 힘이지, 힘 자체가 보존된다는 뜻이 아니다. 보존되는 것은 에너지, 운동량, 각운동량 같은 보존량이다.
- 마찰력·저항력은 비보존력으로, 역학적 에너지를 열·소리 등으로 흩어 버린다. 그래서 퍼텐셜 에너지로 표현할 수 없고, 경로에도 의존한다.
- 현대 물리학의 깊은 구조는 대칭성 ↔ 보존량의 대응으로 설명되며, 힘은 그 구조에서 파생되는 2차적 개념에 가깝다.
7-2. 왜 이 구분이 중요한가?
“힘은 보존량이 아니다”라는 사실을 이해하면, 자연을 보는 관점이 “힘 중심”에서 “에너지·운동량 중심”으로 바뀌게 된다. 이 관점은
- 고전역학(라그랑지안·해밀토니안)
- 전자기학
- 양자역학
- 장론(field theory)
으로 이어지며, 현대 물리학의 일관된 언어를 이해하는 데 큰 도움이 된다.
앞으로 “힘이 왜 보존되지 않는가?”라는 질문은, 단순한 정의 문제가 아니라 자연 법칙의 깊은 구조를 묻는 질문이라는 걸 기억하면 좋다.
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