부제: 퍼텐셜 에너지, 경로 의존성, 마찰력이 에너지를 ‘먹어버리는’ 진짜 이유
핵심 요약
- 보존력은 퍼텐셜 에너지로 표현 가능하고, 경로와 상관없이 A→B로 가는 동안 한 일이 항상 같다. 이때 역학적 에너지 K + U가 보존된다.
- 비보존력(마찰력, 공기 저항 등)은 한 일이 경로에 따라 달라지고, 역학적 에너지를 열·소리 같은 다른 형태로 흩어버린다. 그래서 K + U가 줄어든 것처럼 보인다.
- 보존력의 “보존”은 힘 F가 보존된다는 뜻이 아니라, 그 힘이 작용할 때 에너지가 보존되는 형태로 정리할 수 있다는 의미다. “보존력 = 에너지 보존이 가능한 힘”이라고 이해하면 된다.
1. 보존력과 비보존력, 한 줄 정의
보존력(conservative force)과 비보존력(non-conservative force)을 가장 간단하게 나누면 이렇게 말할 수 있다.
- 보존력: 한 일이 경로에 의존하지 않고, 퍼텐셜 에너지 U(q)로 표현 가능한 힘.
- 비보존력: 한 일이 경로에 의존하고, 퍼텐셜 에너지로 깔끔하게 표현할 수 없는 힘.
즉, “어떤 길로 돌아가든 상관없이 출발점과 도착점만으로 에너지 계산이 되는 힘이 보존력이고, 길이 꼬이면 꼬일수록 더 많이 에너지를 갉아먹는 힘이 비보존력”이라고 볼 수 있다.
2. 보존력: 퍼텐셜 에너지로 표현되는 힘
2-1. 보존력의 정의
보존력 F가 있을 때, 우리는 그 힘에 대응하는 퍼텐셜 에너지 U(q)를 정의할 수 있다. 수학적으로는 다음과 같이 쓴다.
F = −∇U
여기서 ∇U는 “위치에 따른 에너지 변화율(기울기)”이고, 힘은 그 기울기를 내리막 방향으로 밀어주는 역할을 한다. 언덕을 생각하면:
- U = 언덕의 높이(퍼텐셜)
- F = 언덕의 기울기(얼마나 가파른지) → 공이 굴러 떨어지는 힘
2-2. 보존력의 핵심 특징
- 경로 무관성: A에서 B로 갈 때, 어떤 경로를 택하든 보존력이 한 일은 W = −ΔU 하나로 정리된다.
- 닫힌 경로에서 일 = 0: 원을 한 바퀴 돌아 다시 제자리로 오면, 보존력이 한 일의 총합은 0이다.
- 역학적 에너지 보존: 보존력만 작용하는 계에서는 K + U = 일정이 된다.
2-3. 대표적인 보존력 예시
- 중력: U = m g h (높이 h에 비례)
- 용수철 힘(후크의 법칙): F = −k x, U = ½ k x²
- 쿨롱 전기력: 전하 사이의 퍼텐셜로 표현 가능
이 힘들은 모두 “어디로 어떻게 돌아서 갔냐” 보다는, 시작점·끝점의 위치(또는 높이, 거리)만으로 에너지 계산이 된다.
3. 비보존력: 마찰력·저항력이 에너지를 ‘먹는’ 방식
3-1. 비보존력의 정의
비보존력은 한 일이 이동 경로에 의존하며, 퍼텐셜 에너지 U(q)로 묶어서 표현할 수 없는 힘이다.
대표적인 비보존력은 다음과 같다.
- 마찰력 (kinetic friction)
- 공기 저항 (air drag)
- 점성력 (viscous force)
3-2. 왜 퍼텐셜 에너지로 표현할 수 없을까?
마찰력을 예로 들어 보자. 물체가 바닥 위를 미끄러지면, 마찰력이 항상 운동 방향과 반대로 작용하며 운동에너지를 깎아 먹는다.
여기서 중요한 점은, 같은 시작점 A와 끝점 B라도 “얼마나 멀리 돌아갔는지”에 따라 마찰력이 한 일이 달라진다는 것이다.
- 직선으로 쭉 이동하면, 짧은 거리를 이동 → 적은 에너지 손실
- 빙빙 돌아서 이동하면, 긴 거리를 이동 → 많은 에너지 손실
하지만 퍼텐셜 에너지 U(q)는 위치 q만으로 정리되어야 한다. 즉, “A에 있을 때의 U”와 “B에 있을 때의 U”만으로 에너지 차이를 표현해야 하는데, 마찰력은 경로 길이(누적 거리)에 따라 에너지 손실이 달라지기 때문에 U(q)로 정리할 수 없다.
그래서 마찰력·공기 저항 같은 힘들은 퍼텐셜 에너지를 가질 수 없고, 비보존력으로 분류된다.
4. 경로 의존성과 에너지 보존식: ΔK + ΔU = Wnc
4-1. 에너지 관점에서 본 보존력/비보존력
역학에서 에너지 변화를 정리할 때 자주 쓰는 식이 있다.
ΔK + ΔU = Wnc
- ΔK : 운동에너지의 변화
- ΔU : 퍼텐셜 에너지의 변화
- Wnc : 비보존력이 한 일 (non-conservative work)
보존력이 한 일은 퍼텐셜 에너지 U로 흡수해서 ΔU로 옮겨버릴 수 있지만, 마찰력 같은 비보존력이 한 일은 따로 Wnc로 분리해서 적어야 한다.
4-2. 보존력만 작용할 때
비보존력이 없으면 Wnc = 0 이므로
ΔK + ΔU = 0
즉,
K + U = 일정 (역학적 에너지 보존)
4-3. 비보존력이 있을 때
마찰력이 작용하면 Wnc < 0 이 되고,
ΔK + ΔU = Wnc < 0
즉, K + U(역학적 에너지)의 총합은 감소하는 것처럼 보인다. 하지만 실제로는 그 에너지가 열, 소리, 공기의 난류, 물체 내부의 진동 등으로 흩어졌을 뿐이다.
5. 직관적인 비유로 보는 보존력 vs 비보존력
5-1. 보존력 = 완벽한 롤러코스터 레일
마찰이 전혀 없는 완벽한 롤러코스터를 떠올려 보자. 가장 높은 지점에서 출발하면, 아무리 레일 모양이 꼬여 있어도 가장 아래 지점에서의 속력은 항상 동일하다.
- 위치에 따른 높이 → 퍼텐셜 에너지 U
- 속력 → 운동에너지 K
- 마찰이 없으므로 K + U = 일정
이게 바로 보존력만 있을 때의 세계다.
5-2. 비보존력 = 레일에 깔린 브레이크 패드
이제 레일 군데군데에 브레이크 패드(마찰)가 깔려 있다고 생각해 보자.
- 레일을 조금만 돌면 → 브레이크 구간 짧음 → 에너지 적게 잃음
- 레일을 많이 돌아다니면 → 브레이크 구간 길어짐 → 에너지 많이 잃음
출발점과 도착점이 같아도, 얼마나 브레이크 밟았는지(경로 길이)에 따라 최종 속력이 달라지는 것이 비보존력의 세계다.
6. 자주 하는 오해 Q&A 정리
Q1. “보존력”이면 힘 F가 보존된다는 뜻 아닌가요?
아니다. “보존력”이라는 말은 “그 힘이 작용하는 동안 역학적 에너지를 보존할 수 있다”는 의미다. 보존되는 것은 에너지, 운동량, 각운동량 같은 보존량이지, 힘 그 자체가 아니다.
Q2. 마찰력은 에너지를 “없애버리는” 힘인가요?
완전히 사라지는 것은 아니다. 마찰력은 역학적 에너지를 열, 소리, 물체 내부의 미세한 운동 등으로 바꿔버린다. 역학적 에너지(K + U)는 줄어들지만, 계를 충분히 크게 잡아 보면 전체 에너지는 여전히 보존된다.
Q3. 보존력과 비보존력은 완전히 분리되나요?
현실에서는 보존력 + 비보존력이 동시에 작용하는 경우가 대부분이다. 예를 들어, 공을 던지면
- 중력 → 보존력
- 공기 저항 → 비보존력
두 힘을 함께 고려할 때는, 중력은 퍼텐셜 U로, 공기 저항은 Wnc로 분리해서 다룬다.
7. 정리: 왜 우리는 힘이 아니라 에너지로 보는가?
- 보존력: 퍼텐셜 에너지로 표현 가능, 경로와 무관하게 에너지 계산 가능, K + U 보존.
- 비보존력: 경로에 따라 한 일이 달라지고, 역학적 에너지를 열·소리 등으로 분산.
- “보존력”의 “보존”은 힘이 아니라 에너지 구조가 보존 가능한 형태로 정리된다는 뜻이다.
- 현대 물리학에서는 힘보다 에너지·운동량 같은 보존량이 더 근본적인 개념으로 사용된다.
이 글에서 보존력과 비보존력의 차이를 한 번 정리해 두면, 라그랑지안, 뇌터 정리, 해밀토니안 같은 더 고급 개념들도 “에너지와 보존량의 언어”로 훨씬 쉽게 이어서 이해할 수 있다.
