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“덧셈으로 뺄셈·곱셈·나눗셈을 모두 만들 수 있을까?”라는 질문은 계산의 본질로 들어가는 열쇠다. 본 글은 수학·논리·물리 세 관점에서 연산의 근본을 비교 정리하고, 컴퓨터 구조와 실제 구현(논리게이트, 상태 변화)까지 연결해 직관적으로 설명한다.
목차
1) 수학적 관점: 덧셈으로 산술을 생성하기
- 뺄셈은 음수의 덧셈:
a - b = a + (-b) - 곱셈은 반복 덧셈:
a × b = a + a + ... (b번) - 나눗셈은 반복 뺄셈(=덧셈의 역방향 반복): “b를 몇 번 빼면 0이 되는가?”
자연수/정수 체계에서 위 정의들은 재귀적으로도 깔끔하게 표현된다. 직관적으로는 산술(Arithmetic)의 최소 생성 연산은 덧셈이라고 볼 수 있다.
2) 논리적 관점: 덧셈도 논리게이트로 구현된다
컴퓨터는 0/1 신호로 동작한다. 비트 덧셈은 XOR, AND, OR 같은 논리게이트의 조합으로 만든 하프가산기·전가산기로 구현된다. 즉, 덧셈조차도 더 근본적인 논리 연산들의 조합이다.
- 하프가산기: (A, B) → SUM = A XOR B, CARRY = A AND B
- 전가산기: (A, B, Cin) → SUM = A XOR B XOR Cin, Cout = (A AND B) OR (Cin AND (A XOR B))
- N비트 덧셈: 전가산기를 N개 직렬 연결(리플캐리 등)
따라서 계산(Computation)의 논리적 근본은 게이트 연산이라고 정리하는 게 정확하다.
3) 물리적 관점: 모든 계산은 상태 변화의 조합
트랜지스터는 전압/전류의 물리적 상태를 바꾸는 스위치다. 논리게이트와 덧셈은 모두 이런 상태 전환의 네트워크일 뿐. 더 바닥까지 내려가면, 계산이란 결국 물리적 상태의 선택과 조합이다.
- CMOS 게이트: 전도/차단 상태
- 클럭·동기화: 에너지 소모/정보 갱신 타이밍
- 정보는 물리적이며, 연산은 상태 변화의 규칙
4) 요약 비교표: 관점별 ‘근본’ 한눈에 보기
| 관점 | 근본 연산 | 핵심 논지 | 대표 표현 |
|---|---|---|---|
| 수학(산술) | 덧셈 | 뺄셈·곱셈·나눗셈은 덧셈(과 그 역방향)의 조합 | a−b=a+(−b), a×b=∑a, 나눗셈=반복 뺄셈 |
| 논리(계산이론) | 논리게이트(AND/OR/XOR…) | 덧셈도 게이트 조합으로 구현(하프/전가산기) | SUM=A⊕B, CARRY=A·B, 리플캐리 등 |
| 물리(하드웨어) | 상태 변화(전압/전류, 에너지) | 모든 연산은 물리 상태 전환의 규칙/순서 | CMOS 스위칭, 클럭 동기, 전력/지연 최적화 |
5) CPU/디지털 설계에서의 실전 연결
- 덧셈기(Adder) 하나로 뺄셈(2의 보수), 곱셈(시프트+가산), 나눗셈(반복 빼기+복원) 구현 가능
- 하지만 실제 CPU는 속도·면적·전력 때문에 곱셈기/나눗셈기 등 전용 유닛을 둔다
- 논리게이트 수준에선 덧셈기도 XOR/AND/OR 등으로 분해된다
6) 결론: “근본”은 관점에 따라 달라진다
수학적으로 보면 덧셈이 산술의 근본이다. 그러나 계산의 구현을 파고들면 덧셈은 논리게이트의 조합이고, 더 바닥에서는 물리적 상태 변화다. 즉, “모든 연산의 근본이 덧셈이냐?”라는 물음의 답은 “산술에서는 그렇다, 하지만 구현의 최저 레벨로 가면 논리/물리다.”로 정리된다.
핵심은 문맥이다. 어떤 층위(수학/논리/물리)를 말하는지 분명히 하면, “근본”의 의미도 선명해진다.
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