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미분은 차이(뺄셈)의 극한, 적분은 합(덧셈)의 극한이다. 이 글은 그 핵심을 간결히 정리하고, 다양한 함수—다항식, 지수, 로그, 삼각함수—에서의 미분·적분 결과를 표와 예시로 한 번에 정리한다.
1) 핵심 개념: 뺄셈·덧셈의 극한
미분 = 뺄셈의 극한
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
적분 = 덧셈의 극한
∫ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(x_i) Δx
2) 공식 요약표 (다항/지수/로그/삼각)
| 함수 | 미분 | 부가 설명 | 대표 적분 |
|---|---|---|---|
| xⁿ (n∈ℝ, n≠−1) | n·xⁿ⁻¹ | 거듭제곱 법칙 | ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| eˣ | eˣ | 자기동형(미분=자기자신) | ∫ eˣ dx = eˣ + C |
| aˣ (a>0, a≠1) | aˣ ln a | 밑이 a일 때 ln a 계수 | ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C |
| ln x (x>0) | 1/x | logₐx = ln x / ln a | ∫ (1/x) dx = ln|x| + C |
| sin x | cos x | 주기·위상 이동에 유용 | ∫ sin x dx = −cos x + C |
| cos x | −sin x | 부호 주의 | ∫ cos x dx = sin x + C |
| tan x | sec² x | 연쇄·치환 적분 자주 사용 | ∫ tan x dx = −ln|cos x| + C |
3) 예시 A: 지수함수
f(x)=eˣ라면, f'(x)=eˣ, ∫ f(x) dx = eˣ + C.
증가율이 현재 값에 비례하는 성장/감쇠 모델(연속 복리, 방사능 붕괴 등)에서 핵심.
4) 예시 B: 로그함수
g(x)=ln x (x>0) → g'(x)=1/x, ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
지수함수의 역함수. 스케일 변화(데시벨, pH 등)와 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 성질이 유용.
5) 예시 C: 삼각함수
h(x)=sin x → h'(x)=cos x, ∫ sin x dx = −cos x + C.
주기운동(진동, 파동)에서 미분·적분이 위상과 진폭을 어떻게 바꾸는지 직관적으로 보인다.
6) 한 줄 결론
미분은 ‘뺄셈의 극한’, 적분은 ‘덧셈의 극한’이다. 지수·로그·삼각함수 어디서나 이 관점이 깔끔하게 통한다.
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