미분은 뺄셈, 적분은 덧셈의 극한이다｜직관과 수식으로 한 번에 이해

미분과 적분은 서로 반대처럼 보이지만, 본질은 뺄셈과 덧셈의 극한이다. 이 글은 미분·적분의 직관 → 기초 수식 → 예시 → 요약표 순으로 정리하였다.

목차

1. 왜 ‘극한’이 핵심인가?
2. 미분 = 뺄셈의 극한 (순간변화율)
3. 적분 = 덧셈의 극한 (누적합)
4. 예시: f(x)=x²에서의 미분·적분
5. 요약 비교표
6. 한 줄 결론

1) 왜 ‘극한’이 핵심인가?

현실의 변화는 연속적이지만, 우리가 직접 다루는 값은 이산적이다. 그래서 아주 작은 간격을 상정하고 그 간격을 0으로 보냈을 때의 값(극한)으로 순간의 성질을 정의한다. 이때 차이(뺄셈)와 합(덧셈)이 각각 미분·적분의 뼈대가 된다.

↩ 목차로 이동

2) 미분 = 뺄셈의 극한 (순간변화율)

정의: f'(x) = lim(h→0) [ f(x+h) − f(x) ] / h

• 뺄셈(차이) f(x+h) − f(x) 가 핵심이다.
• 그 차이를 간격 h로 나누고, h→0으로 보낸 극한이 순간변화율이다.
• 직관: “아주 작은 덧셈 (+h)이 출력값을 얼마나 바꾸는가?”를 본다.

↩ 목차로 이동

3) 적분 = 덧셈의 극한 (누적합)

정의(리만합): ∫ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(x_i) Δx

• 구간을 잘게 쪼개 각 조각의 값×너비를 모두 더하고 (덧셈), 그 조각 크기를 0으로 보낸다.
• 면적·길이·부피·총량 = 무한히 작은 덧셈의 누적.

↩ 목차로 이동

4) 예시: f(x)=x²에서의 미분·적분

• 미분: d/dx (x²) = 2x → 순간변화율은 2x.
• 정적분: ∫₀ᵃ x² dx = [x³/3]₀ᵃ = a³/3 → 0~a 구간에서의 총 누적량.

미분은 “차이/뺄셈을 극한으로 좁힘”, 적분은 “합/덧셈을 극한으로 확장”.

↩ 목차로 이동

5) 요약 비교표

연산	핵심 행위	극한의 의미	대표 수식
미분	차이(뺄셈)	순간의 변화율	f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h
적분	합(덧셈)	총누적(면적/양)	∫ f(x)dx = lim Σ f(x_i)Δx

↩ 목차로 이동

6) 한 줄 결론

미분은 ‘뺄셈의 극한’, 적분은 ‘덧셈의 극한’이다. 둘은 근본적으로 서로를 보완하며(미적분의 기본정리), 변화와 누적을 연결한다.

#미분 #적분 #극한 #뺄셈 #덧셈 #변화율 #누적합 #리만합 #직관수학 #티스토리수학