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라그랑지안3

라그랑지안과 해밀토니안 입문: q, p, L, H로 보는 현대 고전역학 부제: 뉴턴의 F = ma에서 라그랑지안 L과 해밀토니안 H로 넘어가는 길핵심 요약라그랑지안 L(q, ẋ) = T − U는 “운동에너지 − 퍼텐셜 에너지”로 계의 운동을 한 번에 표현하는 함수다.일반화 좌표 q는 단순한 x, y, z만이 아니라, 각도·길이·관절각 등 “계의 자유도를 나타내는 모든 좌표”를 포함한다.일반화 운동량 p = ∂L/∂ẋ는 q에 대응하는 운동량으로, 직선 운동에서는 mv, 각운동에서는 각운동량으로 자연스럽게 바뀐다.해밀토니안 H(q, p)는 보통 “총에너지(운동에너지 + 퍼텐셜)”와 같으며, H를 사용하면 고전역학과 양자역학을 같은 형식으로 다룰 수 있다.목차왜 굳이 라그랑지안과 해밀토니안이 필요한가?q: 일반화 좌표, “계의 자유도”를 표현하는 언어L = T − U: 라그랑지안.. 2025. 11. 30.
뇌터 정리 입문: 대칭성이 보존량을 만든다 부제: 힘이 아닌 ‘대칭’이 에너지·운동량·각운동량을 탄생시키는 방식핵심 요약에너지·운동량·각운동량은 왜 보존될까? 그 이유는 “우주가 가진 대칭성(symmetry)” 때문이다.뇌터 정리는 “물리법칙이 변하지 않는 방향 = 대응하는 보존량이 존재한다”는 사실을 수학적으로 증명한다.힘은 보존량이 되지 않는다. 왜냐하면 힘은 ‘대칭성’과 직접 연결된 양이 아니기 때문이다.목차보존량은 어디서 나오는가?뇌터 정리 한 줄 정의3대 대칭성: 시간·공간·회전힘은 왜 보존량이 아닌가?뇌터 정리의 직관적 비유고전역학 → 라그랑지안 → 뇌터의 연결정리: 자연은 힘보다 대칭으로 움직인다1. 보존량은 어디서 나오는가?물리학에서 “보존량”이라고 부르는 양(에너지, 운동량, 각운동량 등)은 사실 어떤 특별한 근거 없이 우연히 보.. 2025. 11. 29.
힘은 보존되지 않는다: 에너지·운동량과의 차이를 완벽 해설 부제: 왜 힘은 보존량이 아니고, 에너지·운동량만 보존되는가?핵심 요약힘은 ‘양(量)’이 아니라 ‘작용(작용하는 원인)’이기 때문에 보존량이 아니다. 반대로 에너지·운동량·각운동량은 계가 가지고 있는 물리적 양이라서 보존법칙이 성립한다.보존력(conservative force)은 “에너지를 보존시키는 힘”이라는 뜻이지, “힘 자체가 보존된다”는 뜻이 아니다. 중력·전기력·탄성력처럼 퍼텐셜 에너지로 표현 가능한 힘을 말한다.마찰력 같은 비보존력(non-conservative force)은 한 일이 경로에 의존하고, 에너지를 열 등으로 흩어버리기 때문에 퍼텐셜 에너지로 묶을 수 없고, 역학적 에너지도 보존되지 않는다.목차보존량이란 무엇인가?힘(Force)은 왜 보존량이 아닐까?에너지·운동량·각운동량은 왜 보.. 2025. 11. 27.
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